math/概念/排列与组合.md

排列与组合

排列

排列（英语：Permutation）是将相异对象根据确定的顺序重排。

例如：10个人比赛前3名的排列数。

从10人中选出第1名有10种可能，从剩下的10-1=9人中选出第2名有9种可能，再从剩下的9-1=8人中选出第3名有8种可能，这三步的可能数用乘法原理相乘，10\times9\times8=720 即总的排列数。排列数可写作：

 \begin{align} A_{10}^3 &= \underbrace{10\times9\times8}_{3个} = 720 \newline A_n^n &= \underbrace{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1}_{n个} = n! （A_n^n叫全排列，n!叫做n的阶乘） \newline  A_{n}^{m} &= \underbrace{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-m+1)}_{m个} \newline &= \dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-m+1)\times(n-m)\times(n-m-1)\times(n-m-2)\times\cdots\times1}{(n-m)\times(n-m-1)\times(n-m-2)\times\cdots\times1} \newline &= \dfrac{n!}{(n-m)!} \end{align}

公式1：\boxed{ A_n^n = n! }

公式2：\boxed{ A_n^m = \dfrac{n!}{(n-m)!} }