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# 数学
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> 数学，是研究数量、结构以及空间等概念及其变化的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学利用抽象化和逻辑推理，从计数、计算、量度、对物体形状及运动的观察发展而成。数学家们拓展这些概念，以公式化新的猜想，以及从选定的公理及定义出发，严谨地推导出一些定理。
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## 数
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| 名称 | 符号 | 说明 |
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| ---------- | ---------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
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| 阿拉伯数字 | $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 0$ | 据说是古代印度人发明的 |
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| 正整数 | $\Bbb{Z}^+$ | $\lbrace 1,2,3,\dots \rbrace$ |
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| 负整数 | $\Bbb{Z}^-$ | $\lbrace \dots,-3,-2,-1 \rbrace$ |
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| 自然数 | $\Bbb{N}$ | 包括零和正整数，即非负整数 $\lbrace 0,1,2,3 \dots \rbrace$ |
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| 整数 | $\Bbb{Z}$ | 包括正整数、零和负整数 $\lbrace \dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \rbrace$ |
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| 分数 | $\dfrac{a}{b}\ \Big(a,b\in\Bbb{Z}且b\ne0\Big)$ | $a$ 称为分子， $b$ 称为分母。用于表示有理数、比例、等分、整除、百分数，形式包括：最简分数、真分数、假分数、带分数 |
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| 有理数 | $\Bbb{Q}$ | 与分数是同义词，即可以写成分数的数 $\Big\lbrace \dfrac{a}{b} \Big\| a,b\in\Bbb{Z} 且 b\ne0 \Big\rbrace$ |
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| 实数 | $\Bbb{R}$ | 包括有理数和无理数 |
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| 小数 | $0.3,\ 0.\dot{3},\ \pi$ | 实数的一种特殊的表现形式，包括：有限小数、循环小数、无限不循环小数 |
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## 算
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四则运算，即**加减乘除**（$+-\times\div$），是数学最基本的**算术运算**。在同一个算式列中，其**运算次序**是“括号内先算，先乘除，后加减”。
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加法将数个数（称为**加数**）组合起来得到总量（称为**和**）。将多个**一**相加称为**计数**。一个数加**零**仍等于自身。加法拥有**交换律** $\boxed{a+b=b+a}$ 和**结合律** $\boxed{(a+b)+c=a+(b+c)}$ ，即多个加数的顺序可以任意调换，而和不变。**十进制**多位数加法的标准计算方式是竖式计算，即各位竖向对齐，从个位开始逐位相加，超过9的部分**进位**到更高位。
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加法竖式计算：
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$\begin{array}{cccc}
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&1 &2 &9 \\
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+ & &_1 &6 \\
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\hline
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= &1 &3 &5
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\end{array}$
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减法指从**被减数**中移除**减数**，结果称作**差**。减法可视为“加法的逆运算”，即当 $x+y=z$ 时 $z-y=x$ 且 $z-x=y$ 。减去一个数等于加上这个数的**相反数**，例如： $6-3=3=6+(-3)$ 。若果被减数小于减数，得出来的差将会是**负数**，例如： $3-6=-3$ 。
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减法竖式计算：
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$\begin{array}{cccc}
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&3^. &1 &4 \\
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- &1 &4 &1 \\
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\hline
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= &1 &7 &3
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\end{array}$
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乘法是加法的连续运算，同一数（**被乘数**）的若干次（**乘数**）连加，其运算结果称为**积**，例如：
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$$ \sum_{k=1}^{n}a = \underbrace{a + a + a + \cdots + a}_{n} = a \times n $$
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写作 $a \times n$，也可写作 $a \cdot n$ 或 $an$ ，读作a乘以n，或n乘a。
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乘法口诀表
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| $\times$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
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| -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
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| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
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| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
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| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
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| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
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| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
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| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
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| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
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| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
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| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
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| 10 | 10 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 100 | 110 | 120 |
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| 11 | 11 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 110 | 121 | 132 |
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| 12 | 12 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 120 | 132 | 144 |
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乘法竖式计算：
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$\begin{array}{cccc}
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& &1 &8 \\
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\times & &2 &3 \\
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\hline
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& &5 &4 \\
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+ &3 &6 \\
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\hline
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= &4 &1 &4
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\end{array}$
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任何数乘以零，结果是零，即 $0x=0$ 。
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任何数乘以一都等于该数本身，即 $1x=x$ ，称为**单位律**。
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当 $x$ 是量， $y$ 是自然数，乘法的递归定义为：
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$\begin{dcases} 0x=x \\ xy=x+x(y-1) \end{dcases}$
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乘法拥有交换律 $\boxed{a \times b = b \times a}$，结合律 $\boxed{(a \times b) \times c = a \times (b \times c)}$ 和 分配律 $\boxed{a \times (b+c)= a\times b + a\times c}$
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除法可以看成是“乘法的反运算”，也可以理解为“重复的减法”。如果 $a \times b = c$ 且 $b \ne 0$ 则 $a = c \div b$，其中 $a$ 称**商数**， $c$ 称**被除数**， $b$ 称**除数**。
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如果除式的商数 $a$ 必须为整数，则称为**带余除法**， $c - a \times b$ 的值称为**余数**( $d$ )，写作： $c \div b = a \dots d$，读作：c除以b等于a余d。当 $d=0$ 时称 $b$ 整除 $c$，写作 $b \big| c$ ，即 $c$ 是 $b$ 的**倍数**， $b$ 是 $c$ 的**因数**或**约数**。
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计算大数除法使用长除法(直式除法)
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比、比例、比值、正比例、反比例
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质数、合数、分解(质)因数、互质
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分数运算：分数的加减法、通分、约分、分数的乘除法
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小数运算：小数点对齐再运算，结果中小数点位置的确定
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巧算公式
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- $\dfrac{1}{n \times (n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$
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- $\dfrac{d}{n \times (n+d)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+d}$
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- $\dfrac{1}{n \times (n+d)} = \dfrac{1}{d} \times (\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+d})$
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## 量（单位）
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国际单位制以七个基本单位为基础，由此建立起一系列相互换算关系明确的“一致单位”。
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**做题时必须将单位统一！！！**
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- 长度：毫米$mm$、厘米$cm$、分米$dm$、米$m$、千米$km$
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- 换算：$1000毫米=100厘米=10分米=1米=0.001千米$
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- 面积：平方厘米$cm^2$、平方米$m^2$、亩、公顷$hm^2$
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- 换算：$1亩=666.\dot6平方米，1公顷=15亩=10000平方米, 1平方千米=100公顷$
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- 体积：立方厘米$cm^3$、立方米$m^3$
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- 换算：$1立方米=1\times10^6立方厘米$
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- 容积：毫升$ml$、升$l$
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- 换算：$1升=1000毫升$
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- 质量：克$g$、千克$kg$、吨$t$、斤
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- 换算：$1吨=1000千克=2000斤=1\times10^6克$
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- 常见：一个鸡蛋约50克
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- 价格：元角分
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- 时间：年月日时分秒
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- 角度：度、弧度
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## 形
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点：顶点、垂点、圆心
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线：直线、线段、射线、边、对角线
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角：角度、零角、锐角、直角、钝角、平角、周角、内角、外角
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$$ \angle 0^\circ 零角 \lt 锐角 \lt \angle 90^\circ 直角 \lt 钝角 \lt \angle 180^\circ 平角 \lt \angle360^\circ 周角 $$
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量取角度的要点：
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1. 中心对准顶点
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2. 0度对准一边
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3. 仔细读取角度
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形：轴对称、中心对称、多边形、多边形内角和、周长、面积
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平移、旋转
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- 多边形：
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- 三角形
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- 锐角三角形
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- 直角三角形
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- 钝角三角形
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- 等边三角形
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- 等腰三角形
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- 四边形
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- 平行四边形
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- 矩形
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- 长方形
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- 正方形
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- 斜方形
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- 菱形
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- 梯形
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- 筝形
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- 圆
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## 体
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正面、侧面、顶面
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长方体、正方体、圆柱体、圆锥、球体
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## 方程
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含有未知数的等式
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## 公式
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| 名称 | 公式(周长C，(表)面积A，体积V) | 说明 |
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| ---------- | ----------------------------------- | ---------------------------------------- |
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| 三角形 | $A=\dfrac{1}{2}(底\times高)$ | |
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| 三角形 | $A=\dfrac{1}{2}ab\cdot\sin\theta$ | $a, b, \theta$为已知的两边及其夹角 |
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| 三角形 | $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ | 海龙公式，$s$为三角形半周长 |
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| 三角形 | $A=sr$ | $s$为三角形半周长，$r$为三角形内切圆半径 |
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| 三角形 | $A=\dfrac{abc}{4R}$ | $R$为三角形外接圆半径 |
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| 四边形 | $A=\dfrac{1}{2}pq\cdot\sin\theta$ | $p, q, \theta$为对角线长度及其夹角 |
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| 菱形 筝形 | $A=\dfrac{1}{2}pq$ | $p, q$为对角线长度 |
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| 平行四边形 | $A=底\times高$ | |
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| 长方形 | $A=长\times宽$ | |
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| 正方形 | $A=边长^2$ | |
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| 梯形 | $A=\dfrac{1}{2}(上底+下底)\times高$ | |
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| 圆 | $C=2 \pi r$ | |
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| 圆 | $A=\pi r^2$ | |
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| 长方体 | $A=2(ab+bc+ac)$ | |
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| 长方体 | $V=abc$ | |
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| 正方体 | $A=6a^2$ | |
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| 正方体 | $V=a^3$ | |
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| 圆柱体 | $A=4 \pi r^2 + 2 \pi rh$ | |
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| 圆柱体 | $V=\pi r^2 \cdot h$ | |
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| 圆锥体 | $A=\pi r^2+\pi rl$ | |
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| 圆锥体 | $V=\dfrac{1}{3} \pi r^2 \cdot h$ | |
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| 球体 | $A=4 \pi r^2$ | |
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| 球体 | $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ | |
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## 统计
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- 统计表
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- 统计图
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- 可能性：随机事件所有可能中的一部分占总数的比例。
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- 方向：上北下南，左西右东。北偏东$30\degree$（时钟1点钟方向）。
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$$\begin{array}{ccccc}
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&西北 & &北 & &东北 \\
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& &\nwarrow &\uparrow &\nearrow & \\
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&西 &\leftarrow &中 &\rightarrow &东 \\
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& &\swarrow &\downarrow &\searrow & \\
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&西南 & &南 & &东南
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\end{array}$$
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