# 数学
> 数学，是研究数量、结构以及空间等概念及其变化的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学利用抽象化和逻辑推理，从计数、计算、量度、对物体形状及运动的观察发展而成。数学家们拓展这些概念，以公式化新的猜想，以及从选定的公理及定义出发，严谨地推导出一些定理。
## 数
| 名称 | 符号 | 说明 |
| ---------- | ---------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 阿拉伯数字 | $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 0$ | 据说是古代印度人发明的 |
| 自然数 | $\Bbb{N}$ | $\lbrace 0,1,2,3 \dots \rbrace$ |
| 正整数 | $\Bbb{Z}^+$ | 非零自然数 $\lbrace 1,2,3,\dots \rbrace$ |
| 负整数 | $\Bbb{Z}^-$ | $\lbrace \dots,-3,-2,-1 \rbrace$ |
| 整数 | $\Bbb{Z}$ | 包括正整数、零和负整数 $\lbrace \dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \rbrace$ |
| 分数 | $\dfrac{a}{b}\ \Big(a,b\in\Bbb{Z}且b\ne0\Big)$ | $a$ 称为分子， $b$ 称为分母。用于表示有理数、比例、等分、整除、百分数，形式包括：最简分数、真分数、假分数、带分数 |
| 有理数 | $\Bbb{Q}$ | 与分数是同义词，即可以写成分数的数 $\Big\lbrace \dfrac{a}{b} \Big\| a,b\in\Bbb{Z} 且 b\ne0 \Big\rbrace$ |
| 实数 | $\Bbb{R}$ | 包括有理数和无理数 |
| 小数 | $0.3,\ 0.\dot{3},\ \pi$ | 实数的一种特殊的表现形式，包括：有限小数、循环小数、无限不循环小数 |
## 算
四则运算，即**加减乘除**（$+-\times\div$），是数学最基本的**算术运算**。在同一个算式列中，其**运算次序**是“括号内先算，先乘除，后加减”。
----
加法将数个数（称为**加数**）组合起来得到总量（称为**和**）。将多个**一**相加称为**计数**。一个数加**零**仍等于自身。加法拥有**交换律** $\boxed{a+b=b+a}$ 和**结合律** $\boxed{(a+b)+c=a+(b+c)}$ ，即多个加数的顺序可以任意调换，而和不变。**十进制**多位数加法的标准计算方式是竖式计算，即各位竖向对齐，从个位开始逐位相加，超过9的部分**进位**到更高位。
加法竖式计算：
$\begin{array}{cccc}
&1 &2 &9 \\
+ & &_1 &6 \\
\hline
= &1 &3 &5
\end{array}$
----
减法指从**被减数**中移除**减数**，结果称作**差**。减法可视为“加法的逆运算”，即当 $x+y=z$ 时 $z-y=x$ 且 $z-x=y$ 。减去一个数等于加上这个数的**相反数**，例如： $6-3=3=6+(-3)$ 。若果被减数小于减数，得出来的差将会是**负数**，例如： $3-6=-3$ 。
减法竖式计算：
$\begin{array}{cccc}
&3^. &1 &4 \\
- &1 &4 &1 \\
\hline
= &1 &7 &3
\end{array}$
----
乘法是加法的连续运算，同一数（**被乘数**）的若干次（**乘数**）连加，其运算结果称为**积**，例如：
$$ \sum_{k=1}^{n}a = \underbrace{a + a + a + \cdots + a}_{n} = a \times n $$
写作 $a \times n$，也可写作 $a \cdot n$ 或 $an$ ，读作a乘以n，或n乘a。
乘法口诀表
| $\times$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
| 10 | 10 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 100 | 110 | 120 |
| 11 | 11 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 110 | 121 | 132 |
| 12 | 12 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 120 | 132 | 144 |
乘法竖式计算：
$\begin{array}{cccc}
& &1 &8 \\
\times & &2 &3 \\
\hline
& &5 &4 \\
+ &3 &6 \\
\hline
= &4 &1 &4
\end{array}$
任何数乘以零，结果是零，即 $0x=0$ 。
任何数乘以一都等于该数本身，即 $1x=x$ ，称为**单位律**。
当 $x$ 是量， $y$ 是自然数，乘法的递归定义为：
$\begin{dcases} 0x=x \\ xy=x+x(y-1) \end{dcases}$
乘法拥有交换律 $\boxed{a \times b = b \times a}$，结合律 $\boxed{(a \times b) \times c = a \times (b \times c)}$ 和 分配律 $\boxed{a \times (b+c)= a\times b + a\times c}$
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除法可以看成是“乘法的反运算”，也可以理解为“重复的减法”。如果 $a \times b = c$ 且 $b \ne 0$ 则 $a = c \div b$，其中 $a$ 称**商数**， $c$ 称**被除数**， $b$ 称**除数**。
如果除式的商数 $a$ 必须为整数，则称为**带余除法**， $c - a \times b$ 的值称为**余数**( $d$ )，写作： $c \div b = a \dots d$，读作：c除以b等于a余d。当 $d=0$ 时称 $b$ 整除 $c$，写作 $b \big| c$ ，即 $c$ 是 $b$ 的**倍数**， $b$ 是 $c$ 的**因数**或**约数**。
计算大数除法使用长除法(直式除法)
判断能否被整数n整除
- 2：个位是偶数
- 3：各位数之和是3的倍数
- 4：末两位数是4的倍数
- 5：个位为0和5
- 6：各位数之和是3的倍数的偶数
- 7：截去个位后减去个位数的2倍的差是7的倍数(可重复操作)
- 8：百位以内的数是8的倍数
- 9：各位数之和是9的倍数
- 10：个位是0
- 11：截去个位后减去个位数的差是11的倍数(可重复操作); 各奇数位之和和各偶数位之和的差是11的倍数；
- 12：同时是3和4的倍数
- 13：截尾、4倍大、相加、验和
- 14：7的偶数倍
- 15：同时是3和5的倍数
比、比例、比值、正比例、反比例
质数、合数、分解(质)因数、互质
分数运算：分数的加减法、通分、约分、分数的乘除法
小数运算：小数点对齐再运算，结果中小数点位置的确定
巧算公式
- $\dfrac{1}{n \times (n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$
- $\dfrac{d}{n \times (n+d)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+d}$
- $\dfrac{1}{n \times (n+d)} = \dfrac{1}{d} \times (\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+d})$
## 量（单位）
国际单位制以七个基本单位为基础，由此建立起一系列相互换算关系明确的“一致单位”。
**做题时必须将单位统一！！！**
- 长度：毫米$mm$、厘米$cm$、分米$dm$、米$m$、千米$km$
- 换算：$1000毫米=100厘米=10分米=1米=0.001千米$
- 面积：平方厘米$cm^2$、平方米$m^2$、亩、公顷$hm^2$
- 换算：$1亩=666.\dot6平方米，1公顷=15亩=10000平方米, 1平方千米=100公顷$
- 体积：立方厘米$cm^3$、立方米$m^3$
- 换算：$1立方米=1\times10^6立方厘米$
- 容积：毫升$ml$、升$l$
- 换算：$1升=1000毫升$
- 质量：克$g$、千克$kg$、吨$t$、斤
- 换算：$1吨=1000千克=2000斤=1\times10^6克$
- 常见：一个鸡蛋约50克
- 价格：元角分
- 时间：年月日时分秒
- 角度：度、弧度
## 形
点：顶点、垂点、圆心
线：直线、线段、射线、边、对角线
角：角度、零角、锐角、直角、钝角、平角、周角、内角、外角
$$ \angle 0^\circ 零角 \lt 锐角 \lt \angle 90^\circ 直角 \lt 钝角 \lt \angle 180^\circ 平角 \lt \angle360^\circ 周角 $$
量取角度的要点：
1. 中心对准顶点
2. 0度对准一边
3. 仔细读取角度
形：轴对称、中心对称、多边形、多边形内角和、周长、面积
平移、旋转
- 多边形：
- 三角形
- 锐角三角形
- 直角三角形
- 钝角三角形
- 等边三角形
- 等腰三角形
- 四边形
- 平行四边形
- 矩形
- 长方形
- 正方形
- 斜方形
- 菱形
- 梯形
- 筝形
- 圆
## 体
正面、侧面、顶面
长方体、正方体、圆柱体、圆锥、球体
## 方程
含有未知数的等式
## 公式
| 名称 | 公式(周长C，(表)面积A，体积V) | 说明 |
| ---------- | ----------------------------------- | ---------------------------------------- |
| 三角形 | $A=\dfrac{1}{2}(底\times高)$ | |
| 三角形 | $A=\dfrac{1}{2}ab\cdot\sin\theta$ | $a, b, \theta$为已知的两边及其夹角 |
| 三角形 | $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ | 海龙公式，$s$为三角形半周长 |
| 三角形 | $A=sr$ | $s$为三角形半周长，$r$为三角形内切圆半径 |
| 三角形 | $A=\dfrac{abc}{4R}$ | $R$为三角形外接圆半径 |
| 四边形 | $A=\dfrac{1}{2}pq\cdot\sin\theta$ | $p, q, \theta$为对角线长度及其夹角 |
| 菱形 筝形 | $A=\dfrac{1}{2}pq$ | $p, q$为对角线长度 |
| 平行四边形 | $A=底\times高$ | |
| 长方形 | $A=长\times宽$ | |
| 正方形 | $A=边长^2$ | |
| 梯形 | $A=\dfrac{1}{2}(上底+下底)\times高$ | |
| 圆 | $C=2 \pi r$ | |
| 圆 | $A=\pi r^2$ | |
| 长方体 | $A=2(ab+bc+ac)$ | |
| 长方体 | $V=abc$ | |
| 正方体 | $A=6a^2$ | |
| 正方体 | $V=a^3$ | |
| 圆柱体 | $A=4 \pi r^2 + 2 \pi rh$ | |
| 圆柱体 | $V=\pi r^2 \cdot h$ | |
| 圆锥体 | $A=\pi r^2+\pi rl$ | |
| 圆锥体 | $V=\dfrac{1}{3} \pi r^2 \cdot h$ | |
| 球体 | $A=4 \pi r^2$ | |
| 球体 | $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ | |
| | | |
## 统计
- 统计表
- 统计图
- 可能性：随机事件所有可能中的一部分占总数的比例。
- 方向：上北下南，左西右东。北偏东$30\degree$（时钟1点钟方向）。
$$\begin{array}{ccccc}
&西北 & &北 & &东北 \\
& &\nwarrow &\uparrow &\nearrow & \\
&西 &\leftarrow &中 &\rightarrow &东 \\
& &\swarrow &\downarrow &\searrow & \\
&西南 & &南 & &东南
\end{array}$$